\subsection{二次函数 $y = ax^2$ 的图象和性质}\label{subsec:14-10}

我们先研究特殊的二次函数的图象和性质，然后再研究一般的二次函数的图象和性质。

\liti 画出函数 $y = x^2$ 与 $y = -x^2$ 的图象。

\jie 在 $x$ 的取值范围内列出函数的对应值表：
\begin{table}[H]
    \hspace*{2em}
    \begin{tblr}{
        hlines, vlines,
        columns={3em, mode=math, c, colsep=0pt},
        column{1}={5em},
        rows={rowsep=0.5em},
    }
        x     & \cdots & -2 & -1\dfrac{1}{2} & -1 & -\dfrac{1}{2} & 0 & \dfrac{1}{2} & 1 & 1\dfrac{1}{2} & 2 & \cdots \\
        y=x^2 & \cdots &  4 &  2\dfrac{1}{4} &  1 &  \dfrac{1}{4} & 0 & \dfrac{1}{4} & 1 & 2\dfrac{1}{4} & 4 & \cdots
    \end{tblr}
\end{table}

用表里各组对应值作为点的坐标，进行描点，然后用平滑曲线把它们顺次连结起来，就得到函数 $y = x^2$ 的图象（图 \ref{fig:14-22}）。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
    \centering
    \input{../pic/czds4-ch14-22}
    \caption{}\label{fig:14-22}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
    \centering
    \input{../pic/czds4-ch14-23}
    \caption{}\label{fig:14-23}
    \end{minipage}
\end{figure}

用同样的方法，可以画出函数 $y = -x^2$ 的图象（图 \ref{fig:14-23}）。


\begin{enhancedline}
\liti 画出函数 $y = \dfrac{1}{2}x^2$ 与 $y = 2x^2$ 的图象。

\jie 先画函数 $y = \dfrac{1}{2}x^2$ 的图象。在 $x$ 的取值范围内列出函数的对应值表：
\begin{table}[H]
    \hspace*{2em}
    \begin{tblr}{
        hlines, vlines,
        columns={3em, mode=math, c, colsep=0pt},
        column{1}={5em},
        rows={rowsep=0.5em},
    }
        x & \cdots & -4 & -3            & -2 & -1           & 0 & 1            & 2 & 3             & 4 & \cdots \\
        y & \cdots &  8 & 4\dfrac{1}{2} &  2 & \dfrac{1}{2} & 0 & \dfrac{1}{2} & 2 & 4\dfrac{1}{2} & 8 & \cdots
    \end{tblr}
\end{table}

用表里各组对应值作为点的坐标，进行描点，然后用平滑的曲线把它们顺次连结起来，就得到函数 $y = \dfrac{1}{2}x^2$ 的图象（图 \ref{fig:14-24}）。

\begin{wrapfigure}[13]{r}{6cm}
    \centering
    \input{../pic/czds4-ch14-24}
    \caption{}\label{fig:14-24}
\end{wrapfigure}

用同样的方法，可以画出函数 $y = 2x^2$ 的图象。我们把它画在图 \ref{fig:14-24} 所示的坐标系内。


函数 $y = ax^2$ 的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做\zhongdian{抛物线}。
这条抛物线关于 $y$ 轴对称，$y$ 轴叫做抛物线的\zhongdian{对称轴}。
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的\zhongdian{顶点}， 这条抛物线的顶点是原点。

从图 \ref{fig:14-22}，\ref{fig:14-23}， \ref{fig:14-24} 可以看出，\zhongdian{二次函数 $\bm{y = ax^2}$ 有下列性质}：


\zhongdian{(1) \; 抛物线 $\bm{y = ax^2}$ 的顶点是原点，对称轴是 $\bm{y}$ 轴。}

\zhongdian{(2) \; 当 $\bm{a > 0}$ 时，抛物线 $\bm{y = ax^2}$ 在 $\bm{x}$ 轴的上方（顶点在 $\bm{x}$ 轴上），它的开口向上，并且向上无限伸展；
                  当 $\bm{a < 0}$ 时，抛物线 $\bm{y = ax^2}$ 在 $\bm{x}$ 轴的下方（顶点在 $\bm{x}$ 轴上），它的开口向下，并且向下无限伸展。
}

\zhongdian{(3) \; 当 $\bm{a > 0}$ 时，
        在对称轴的左侧，$\bm{y}$ 随着 $\bm{x}$ 的增大而减小；
        在对称轴的右侧，$\bm{y}$ 随着 $\bm{x}$ 的增大而增大；
        函数 $\bm{y}$ 当 $\bm{x = 0}$ 时的的值最小。
    当 $\bm{a < 0}$ 时，
        在对称轴的左侧，$\bm{y}$ 随着 $\bm{x}$ 的增大而增大；
        在对称轴的右侧，$\bm{y}$ 随着 $\bm{x}$ 的增大而减小；
        函数 $\bm{y}$ 当 $\bm{x = 0}$ 时的的值最大。
}

\end{enhancedline}



\lianxi
\begin{xiaotis}

\xiaoti{在同一坐标系内，画出下列函数的图象，并比较它们的位置关系：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \begin{tblr}{columns={18em, colsep=0pt}, rows={rowsep=0.5em}}
        \xxt{$y = \dfrac{2}{3}x^2$；} & \xxt{$y = -\dfrac{2}{3}x^2$。}
    \end{tblr}
\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{圆面积公式为 $A = \pi r^2$，其中 $r$ 为圆的半径，$A$ 为圆的面积，$\pi$ 取 $3.14$。}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{求 $r = 3$， $5$， $2.5$（厘米）时圆的面积；}

    \xxt{画出函数 $A = \pi r^2 \; (0 < r \leqslant 8)$ 的图象；}

    \xxt{根据图象，求面积 $A = 20$，$40$，$60$（$\pflm$）时圆的半径。}

\end{xiaoxiaotis}


\end{xiaotis}
